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TaiGooLandのきっかけ

世の中、正しいことって何だろうと思うことが多くあります。「いついかなる時でも絶対に正しいことが分かれば良いのにな」と思った時にふと思い出したのが、中学生か高校生の数学の時間に、証明という分野で勉強した「対偶」でした。

「正しいものは、反対に考えても正しい。」
くらいの記憶しかないので、ページの最後にWikipediaから内容を転載しておきます。

TaiGooLandの目的

  1. 私が疑問に感じたことの対偶を考えてみる
  2. それって正しいのだろうかということを対偶で考えてみる

という思考の過程と結果を残していくことです。

対偶とは

(Wikipediaより転載。2014年2月11日時点の内容)

対偶(たいぐう)とは、ある命題が成立する場合に、その命題の仮定と結論の両方を否定した命題も成立するという命題同士の関係性の事を言う。 

 

命題「AならばB」の対偶は「BでないならAでない」である。 論理記号を用いて説明すると、命題「A ⇒ B」の対偶は「¬B⇒ ¬A」(¬A< は命題 A の否定)である。

通常の数学では、命題「AならばB」の真偽とその対偶「BでないならAでない」の真偽とは必ず一致する(すなわち真理値が等しい)。

数学では、元の命題「AならばB」の証明が難しくても、その対偶「BでないならAでない」の証明は比較的易しい場合がある。「AならばB」と「BでないならAでない」との真偽は一致するので、このようなときには対偶「BでないならAでない」のほうを証明すれば「AならばB」を証明できる(対偶論法)。

対偶の関連概念

(Wikipediaより転載。2014年2月11日時点の内容)

命題「AならばB」に対し、 

 

  • 対偶:「BでないならAでない」
  • 逆:「BならばA」
  • 裏:「AでないならBでない」

がある。
対偶の場合とは異なり、元の命題「AならばB」が正しくとも逆・裏は必ずしも正しいとは限らない(逆は必ずしも真ならず)。 しかし逆命題「BならばA」の対偶は、「AならばB」の裏「AでないならBでない」と一致するので、逆「BならばA」と裏「AでないならBでない」の真偽は必ず一致する。
自然言語(とくに日常語や文学・比喩表現)では、論理学における論理的関係が常にそのまま適用できるとは限らず、命題と対偶命題が異なる真理値を持つように見えることがある。

以上

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